Cálculo da probabilidade e definições

No resumo a seguir, falamos sobre termos como espaço amostral, evento, probabilidade condicional e probabilidade da união de dois eventos. 

Qual é a probabilidade de duas pessoas em um determinado grupo fazerem aniversário no mesmo dia?

Considerando um ano de 365 dias, parece muito difícil montar um grupo com duas pessoas que façam aniversário no mesmo dia.

Mas é aí que a gente se engana: num grupo de 30 pessoas, a chance de haver dois aniversariantes no mesmo dia é maior que 70%! Num grupo de 60 pessoas, a chance sobe para mais de 99%! Para chegar nesse resultado, é usado o cálculo de probabilidade.

O que é probabilidade?

A probabilidade é o estudo de experimentos aleatórios, ou seja, um experimento repetido no qual não é possível prever o resultado.

Um bom exemplo disso é o resultado de um jogo de futebol na Copa do Mundo, no qual não há como prever qual será o time vencedor.

Toda probabilidade (p) é um número que vai de 0 até 1 (0 ≤ p ≤1). Qualquer evento em que a possibilidade de ocorrer é 0 é chamado de evento impossível. Evento certo é aquele com chance de ocorrer 1.

Espaço amostral (S)

Para começar a entender todo o conceito é preciso saber o que é o espaço amostral. Esse é o conjunto de todos os resultados que são possíveis em um experimento aleatório.

No caso de lançarmos um dado, teríamos a seguinte representação:

S={ 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

E, se lançássemos uma moeda, a representação seria:

S={ cara, coroa }

Evento

O evento é um subconjunto de um espaço amostral que pode ser o próprio espaço amostral, uma parte desse espaço, ou um conjunto vazio.

Usando o mesmo exemplo do lançamento de um dado, podemos verificar as chances de sair um número ímpar. Esse é o nosso evento, onde, S={ 1, 2, 3, 4, 5, 6 } é o espaço amostral e E={ 1,3,5 } é o evento.

Evento impossível

Um evento impossível é a aquele em que a possibilidade de se obter um resultado é 0. 

Isso é sempre representado por E= {   }

Evento certo

Um evento é chamado de certo, quando ele é igual ao espaço amostral. Por exemplo, qual é a probabilidade de sair um número ao lançarmos um dado? Ela é 100%, pois sempre sairá um número.

Nesse caso E=S

Isso pode ser calculado dividindo o número de elementos do evento pelo número de elementos do espaço amostral.

Por exemplo: Qual a probabilidade de, no lançamento de dois dados, obtermos como resultado a soma 7?

A = Soma 7

S={ (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6)

      (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6)

      (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6)

      (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6)

      (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6)

      (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6) }

E={ (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) }

n(A)= 6

Eventos complementares

Chamamos de evento complementar (Ec) tudo o que não faz parte do evento. Ou seja, o evento Ec é formado pelos elementos do espaço amostral que não estão em E.

Por exemplo, no lançamento de uma moeda, nosso evento E é cara. Nessa situação, o evento complementar Ec é dado pelo resultado coroa. Portanto:

Ec = {coroa) e E= {cara}

Probabilidade condicional

A probabilidade condicional é quando você calcula a possibilidade conhecendo um dado ou uma ação que já ocorreu.

Exercício de probabilidade condicional resolvido:

Uma pesquisa foi feita com alunos de uma escola sobre qual área de graduação eles pretendem cursar. Os resultados foram organizados na tabela abaixo:

Escolhendo um aluno dessa escola ao acaso e sabendo que ele é do sexo feminino, qual é a probabilidade de se escolher uma aluna que fará um curso na área de Biológicas?

Note que você já possui a informação do sexo e de qual área será a graduação. Nesse caso, a resolução será:

Sendo assim, podemos esquematizar a probabilidade condicional da seguinte forma:

Probabilidade da união de dois eventos

Algumas probabilidades são a união de dois eventos. Por exemplo, no lançamento de um dado, qual é a probabilidade de sair um número ímpar ou maior de 2?

Observe que é necessário determinar a probabilidade de ocorrer o evento A e o evento B, resumindo a probabilidade de união desses dois eventos.

A resolução pode ser feita da seguinte forma:

Espaço amostral:

S= { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

Evento A = sair um número ímpar:

A= { 1,3,5 }

P(A) = 3/6

Evento B = sair um número maior que 2:

B= { 3, 4, 5, 6 }

P(B) = 4/6

Agora, é preciso determinar a intersecção desses eventos, ou seja, os elementos que são comuns em ambos.

A∩B= { 3, 5 }

P(A∩B) = 2/6

Feito, isso você pode aplicar a fórmula: